Metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate si concurenta - Octavian Marica

In procesul instructiv-educativ ce se desfasoara la nivel preuniversitar un rol fundamental il ocupa predarea matematicii. Lectiile de matematica au un rol informativ, in sensul ca inarmeaza elevii cu cunostinte de baza din domeniul matematicii, necesare in problema cunoasterii si a posibilitatii abordarii altor stiinte cum ar fi fizica, chimia etc. si un rol formativ in sensul ca deprinde elevii cu modele de rationamente logice.
Caracterul metodelor trebuie sa imprime tineretului studios constiinta insusita cu convingere si interes ca matematica este cu atat mai utila societatii cu cat este asimilata intr-un cadru mai corespunzator, unde calitatile estetice ale rationamentelor se imbina armonios cu eficienta lor.

Obiectivele generale ale predarii matematicii prevad:
a) familiarizarea elevilor cu utilizarea si aplicarea in diferite contexte a unor tehnici si metode de operare in domeniul matematicii;
b) formarea unor deprinderi de rezolvare a problemelor utilizand strategii algoritmice, euristice sau euristico-algoritmice;
c) consolidarea si dezvoltarea rationamentului prin formarea deprinderii de a analiza o problema data si de a selecta teoria matematicii convenabila in rezolvarea ei, sesizand restrictiile ce se impun sau posibilitatile de generalizare, de a problematiza o situatie data sau de a modela in limbaj matematic un fenomen intalnit in studiul matematicii sau a celorlalte discipline de specialitate.

Matematica zilelor noastre evolueaza dinamic sub raport cantitativ si, mai ales, calitativ. Cercetari si descoperiri contemporane redimensioneaza permanent domeniile ei si impun exigente deosebite fundamentelor sale. Invatamantul nu poate ramane in afara acestor framantari; el are de rezolvat probleme noi referitoare la expunerea in scoala a bazelor unor stiinte in continua transformare.
Una dintre disciplinele matematice, predate in liceu, care a dat loc la numeroase discutii, cu prilejul diferitelor readaptari si modernizari ale invatamantului nostru a fost geometria.
In principiu geometria, avand ca scop studiul formelor spatiale, a proprietatilor figurilor, este o aplicatie a instrumentului de cercetare matematic pentru investigarea spatiului uni-, bi-, si tridimensional sau ale generalizarilor acestuia. Ea ar trebui deci sa apara mai usoara, mai intuitiva elevilor decat alte capitole ale matematicii. Dar rationamentele geometrice sunt in general dificile. Ele reclama o mare putere de concentrare, de analiza a figurilor geometrice examinate, de gasire a legaturii dintre proprietatile ei, astfel ca sa se ajunga la proprietatea care se cere a fi stabilita sau infirmata, pornind de la ipotezele date. Pentru insusirea metodelor geometriei este necesara o ingeniozitate deosebita care se obtine numai prin studiul perseverent si prin exercitii indelungate.

Asimilarea geometriei urmareste o spirala ce porneste de la intuirea vie a realitatii obiective; pe aceasta spirala se pun in acord cu intuitia un numar crescand de propozitii din ce in ce mai abstracte; aceste propozitii devin temeliile pe care se construiesc edificiile teoriilor abstracte. Anumite portiuni din spirala asimilarii geometriei sunt parcurse in invatamantul prescolar, altele in clasele primare si mai multe in gimnaziu si liceu.
Formarea conceptelor geometrice, spre deosebire de altele, ridica probleme de ordin psihologic si pedagogic deosebite. Un concept geometric nu se poate crea spontan, el se formeaza in cursul unui proces psihic asupra caruia isi pune amprenta imaginatia, creativitatea, puterea de generalizare si abstractizarea. Un concept geometric poate avea un grad mai mare de generalitate, iar altul mai restrans. O caracteristica a conceptelor geometrice consta in aceea ca ele formeaza sisteme ierarhice si ca nu sunt entitati mintale izolate. Operatiile cu conceptele geometrice se realizeaza intotdeauna pe plan mintal.
Figura geometrica apare pentru elev in doua ipostaze: ca reflectare idealizata a unor proprietati spatiale pure si ca posibilitate de concretizare a unor concepte. Deci figura geometrica apare atat in procesul de trecere de la concret la abstract, cat si in procesul de trecere de la concept la imagine, de la concept la ceea ce se numeste concept figural. In cursul rezolvarii problemelor nu ne putem dispensa de aportul figurii geometrice, ci ne folosim de ea pentru a reprezenta simplificat unele operatii mentale.
In predarea geometriei o atentie deosebita trebuie sa se dea si simbolurilor, notatiilor, conventiilor de desen, de reprezentare, de redactare simbolica a unui rationament.

In insusirea temeinica a cunostintelor de geometrie, un loc insemnat il ocupa si rezolvarile de probleme. Ele constituie antrenamentul necesar insusirii disciplinei in gandire, a spiritului de rigoare necesar astazi pe o scara din ce in ce mai larga in viata de toate zilele.
G. Polya arata ca: “a rezolva o problema inseamna a gasi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A gasi solutia unei probleme este o performanta specifica inteligentei, iar inteligenta este apanajul distinctiv al speciei umane, se poate spune ca dintre indelemnicirile omenesti cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristica.”
Cunoasterea unor metode de rationament in studiul geometriei este necesara, deoarece, pe de o parte, ele inlesnesc intelegerea demonstratiilor, pe de alta parte constituie mijloace de cercetare in rezolvarea problemelor.
Rationamentul geometric presupune analiza amanuntita a tuturor concluziilor ce deriva din anumite date, a cadrului de validitate a diferentelor rezultate. El nu permite nici o neglijenta in gandire, nici o concluzie pripita, superficiala, insuficient fundamentata logic.
Rezolvarea problemelor de geometrie il ajuta pe elev sa distinga adevarul stiintific de neadevar, sa-l demonstreze, antreneaza organizarea logica a gandirii, ordonarea ideilor, recunoasterea ipotezelor si a consecintelor, il invata pe elev sa distinga diversele aspecte ale unei situatii, sa degaje esentialul de neesential, formeaza capacitatile atentiei, antreneaza memoria logica, exerseaza analiza si sinteza, favorizeaza dezvoltarea imaginatiei creatoare, il ajuta sa-si formeze o gandire critica si constructiva, ii formeaza spiritul stiintific exprimat prin obiectivitate, precizie, gustul cercetarii.
Sub aspect estetic, rezolvarea problemelor de geometrie trezeste gustul fata de frumusetile matematicii exprimate prin relatii, formule, figuri, demonstratii.

Lucrarea de fata are drept scop prezentarea metodelor de rezolvare a problemelor de demonstratie folosite in studiul geometriei si aplicarea acestora atat in demonstrarea teoremelor cat si in rezolvarea problemelor de coliniaritate si concurenta.
Propozitiile asupra coliniaritatii si concurentei au o importanta deosebita in studiul geometriei deoarece prezinta adevaruri in general usor de intuit dar a caror demonstrare riguroasa necesita rationamente precise si o gama variata de tehnici specifice. Un alt argument esential il constituie existenta unui numar mare de propozitii matematice foarte elegante ce concluzioneaza proprietati de coliniaritate si concurenta in ipoteze foarte generale.
 
Primul capitol prezinta metodele generale (metoda sintezei si analizei) precum si metode particulare (metoda analitico-sintetica si metoda reduceri la absurd) pentru rezolvarea problemelor de demonstratie urmate cu exemple de felul cum se aplica aceste metode in rezolvarea problemelor.
Capitolul II cuprinde un inventar de metode specifice pentru rezolvarea problemelor de coliniaritate si concurenta urmat de o serie de probleme in care se aplica astfel de procedee.
Capitolul III subliniaza rolul, importanta si interactiunile metodelor in demonstrarea unor teoreme remarcabile si probleme clasice de coliniaritate si concurenta.
Capitolul IV prezinta pe langa notiuni teoretice referitoare la vectori in plan, cateva metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate si concurenta utilizand calculul vec- torial. Aceasta parte a lucrarii semnaleaza faptul ca nu orice problema de geometrie se poate trata simplu printr-o metoda sau alta. Fiecare metoda isi are avantajele si dezavantajele ei.
In capitolul V se prezinta anumite consideratii referitoare la problema didactica de matematica, rolul problemelor in invatarea matematicii, urmate de probleme rezolvate de coliniaritate si concurenta, precum si cateva aspecte de ordin metodic referitoare la proiectarea activitatii de instruire la matematica, proiectarea activitati de instruire desfasurata in cercul de matematica si proiectarea diferitelor tipuri de itemi in legatura cu tema propusa.
Autorul